DIALÉCTICA DE LA MATEMÁTICA

DIALÉCTICA DE LA MATEMÁTICA

 Valentín Vásquez

Oaxaca, México

valeitvo@yahoo.com.mx

Introducción

La dialéctica apareció en la esfera del pensamiento, a principios del siglo XIX con la filosofía clásica alemana, particularmente con la lógica de Hegel (1812-1816) en su Ciencia de la lógica, obra en la que expone las leyes fundamentales y el sistema de categorías -conceptos generales-. Fue la respuesta al viejo método metafísico de estudio de los conceptos como si se tratara de abstracciones "muertas" o inmóviles.

El rasgo central del método dialéctico consiste en estudiar los conceptos en su movimiento, como resultado de las contradicciones que les son inherentes. 

Si bien la dialéctica en su origen se limitó a la lógica de los conceptos; no obstante, se trató de una conjetura genial, puesto que, el desarrollo posterior de las ciencias naturales y sociales, han confirmado su certeza y en la actualidad el método dialéctico es el más correcto el estudio de los objetos materiales entendidos como procesos en movimiento, como productos de las contradicciones que los mueven.

La matemática como toda ciencia es el reflejo mental del movimiento de la materia. La diferencia con otras ciencias es que su objeto de estudio se reduce al aspecto cuantitativo de los objetos materiales, haciendo abstracción del aspecto cualitativo. Como la cantidad y la cualidad son inherentes a todos los objetos materiales del universo, por consiguiente, la matemática es una ciencia muy general y como tal está muy emparentada con la filosofía y particularmente con la lógica dialéctica como ciencia universal del pensamiento.

El pensamiento no existe en estado puro sino que es expresión del contenido material y en este sentido los procesos materiales son por naturaleza dialécticos y son el fundamento de su expresión lógica.

La matemática como toda ciencia tiene como objetivo central descubrir la verdad –expresión lógica de la esencia- de los procesos materiales y se expresa como un sistema de conceptos, definiciones, y leyes. El concepto es la "célula" del pensamiento y se define como el reflejo mediato y generalizado de los objetos materiales singulares; la definición no es cualquier ocurrencia o una simple opinión, es la expresión lógica de lo general inherente a una multitud de fenómenos singulares o individuales; y, la ley es la constancia esencial y necesaria que permanece invariable en la variabilidad o movimiento de la materia.

El concepto más general de la matemática acorde con su objeto de estudio es el número y su definición correspondiente como la expresión de la magnitud –medida- de la cantidad. Esta puede variar en dos sentidos contrapuestos: aumento (+) o disminución (-). La interacción entre los movimientos contradictorios de la cantidad da origen a leyes generales de los signos: (+)(-) = (-)(-) = (+) y (+) (+) = (+).

Un conjunto de leyes integran una teoría, en este caso se trata de la teoría matemática de los signos.

La naturaleza dialéctica de la teoría matemática de los signos se observan en la imagen que a continuación se muestra.

Imagen 1. Movimiento cíclico del conocimiento matemático 

En la imagen anterior se observa el movimiento cíclico del conocimiento matemático expresado en las leyes de los signos. La a es negada por -a y ésta es negada para convertirse en a² para retornar al punto de partida para reafirmar a a: (+)(+) = (+), pero a un nivel superior, ya que no se trata de regresar a a sino a a². Es decir, que para que  se cierre el ciclo se requiere doble negación: negación de a y la negación de -a para retornar al punto de partida como a². Se trata de una doble negación ya que hay que negar a dos contrarios: (+a) y (-a).

En la naturaleza cíclica del movimiento del conocimiento matemático, están implícitas las tres leyes generales de los signos de la matemática.

Naturaleza dialéctica del movimiento de la materia

En el universo material todos los procesos son cíclicos, es decir, que tienen que pasar por una doble negación para retornar a su punto de partida.

Es la contradicción la fuerza motriz que mueve a la materia. En el universo físico es la atracción vs la repulsión, en el universo biológico es el metabolismo -catabolismo vs anabolismo-, en la sociedad son las fuerzas productivas vs las relaciones de apropiación y en el pensamiento es la confrontación de las ideas -tesis vs antítesis-.

El movimiento cíclico de las galaxias se presenta en la siguiente imagen

Imagen 2. Naturaleza cíclica del movimiento de las galaxias

Las galaxias -conglomerados de estrellas- en su movimiento material -contenido- se organizan en determinadas formas, como resultado de la contradicción entre la contracción vs la expansión. La atracción comprime los gases y polvos sólidos con tal fuerza para convertirlos en materia muy concentrada, a tal grado que que se producen explosiones que generan la materia se disperse en el espacio. Como la materia se concentra y se dispersa en una porción finita del universo en algún momento y lugar se vuelve a concentrar para retornar a su punto de partida. Es decir, que las galaxias se mueven cíclicamente como resultado de las fuerzas de atracción vs repulsión, las cuales producen una doble negación para cubrir el ciclo: la materia dispersa niega a la materia muy concentrada y la materia dispersa es negada por la materia concentrada para retornar al punto de partida.

Al igual que las galaxias, la Tierra se mueve cíclicamente y en su movimiento se ha transformado en un planeta vivo, el cual será negado cuando el Sol agote el hidrógeno como energía y al consumir el helio como fuente de energía su temperatura aumentará para convertirse en una gigante roja, que dado su mayor volumen absorberá a Mercurio y Venus y la Tierra si es que no es absorbida estará muy cerca y debido a las elevadas temperaturas y la evaporación de los océanos harán que la vida se extinga, con lo que el planeta retornará a su punto de partida como planeta inerte.

El carácter cíclico del movimiento de la Tierra se muestra en la imagen siguiente

Imagen 3. Movimiento cíclico de nuestro planeta

En el anterior esquema se presenta la naturaleza cíclica del movimiento de la Tierra. Se observa que la Tierra apareció como un planeta inerte hace 4,500 millones de años y luego de un largo proceso en el concurrieron la energía aportada por el Sol y/o fuentes hidrotermales, la atmósfera, los océanos y los minerales aportados por las rocas de la litosfera y/o fuentes hidrotermales, surgieron compuestos orgánicos más complejos: azúcares, fosfolípidos, proteinas y ácidos nucleicos, que al interaccionar con el agua de los océanos, particularmente los fosfolípidos dieron origen a la membrana para formar la célula. Con ésta aparece la vida primitiva propiamente y su rasgo genérico fundamental: el intercambio de materia y energía con su medio medio ambiente y luego se transformó en metabolismo, rasgo esencial de la vida que la conserva y la mueve. Así el planeta vivo, niega al planeta primitivo inerte. En 4,500 millones de años el Sol acabará su hidrógeno como fuente de energía nuclear, entonces, entrará en reacción el helio, pero las temperaturas aumentarán a cientos de millones de grados, por consiguiente, el Sol aumentará de tamaño para transformarse una gigante roja que alcanzará a Mercurio y a Venus y la Tierra si es que no la absorbe estará tan cerca, de tal forma que estará demasiado caliente y el agua solo estará en forma gaseosa en la atmósfera y la vida se extinguirá. El Planeta vivo se convertirá en un planeta muerto -sin vida- tal como empezó. Se producirá la doble negación para retornar a su punto de partida.

Otra sustancia material que también se mueve cíclicamente y que es crucial para la vida es el agua. Históricamente el ciclo del agua inició en la atmósfera en la que estaba en su totalidad en forma libre en estado gaseoso. En seguida, por la pérdida gradual de calor la Tierra se enfrió hasta determinada magnitud que el vapor de agua se condensó para formar las nubes y con éstas se produjeron precipitaciones torrenciales, cuyos escurrimientos se depositaron en las depresiones de la superficie terrestre para dar origen a los océanos. El agua líquida contenida en los océanos por la interacción con la energía del Sol se evaporó para liberarse a la atmósfera en estado gaseoso. Así se cierra el ciclo del agua al retornar a su punto de partida.

El movimiento cíclico del agua se observa en la imagen que a continuación se presenta.

Imagen 4. Movimiento cíclico del agua

En la imagen anterior es evidente que el agua se mueve cíclicamente y consiste en la sucesión temporal de los tres estados físicos del agua. El agua en estado gaseoso en la atmósfera es negado por la condensación para transformarse en el mismo aire en nubes que al precipitar se transforma en escurrimiento y se acumula en los cuerpos de agua, principalmente los océanos. En seguida el agua líquida de los cuerpos de agua es negada por la evaporación para retornar a su punto de partida en la atmósfera en estado gaseoso.

La vida como nueva cualidad del planeta, se mueve también cíclicamente. Todos los organismos intercambian materia y energía aportadas por el medio ambiente. El Sol aporta energía, el aire materia inorgánica -bióxido de carbono- y el suelo minerales para que las plantas los transformen en compuestos orgánicos, a través de la fotosíntesis. Los animales se alimentan de los vegetales y el hombre de plantas y animales. Tanto los animales como las plantas al morir aportan materia orgánica al suelo, que al ser degradada principalmente por los microorganismos del suelo se transforma en humus que al mineralizarse libera los componentes inorgánicos al suelo y a la atmósfera para concluir el ciclo de la materia orgánica, cuyo principal componente es el carbono.

El ciclo de la materia orgánica -carbono- se presenta en la imagen que presenta a continuación.

Imagen 5. Movimiento cíclico de la materia orgánica (carbono)

En la imagen mostrada se aprecia que la fotosíntesis y la respiración son dos procesos biológicos contradictorios que mueven cíclicamente a los compuestos orgánicos. La fotosíntesis con la energía proveniente del Sol niega al bióxido de carbono al combinarlo con el hidrógeno aportado por el agua del suelo y convertirlo en carbohidratos. Estos son negados por la respiración que al combinarlos con el oxígeno del aire los oxida para transformarlos en agua y bióxido de carbono que se liberan a la atmósfera y, así los retorna a su punto de partida para ser utilizados nuevamente por el proceso de la fotosíntesis.

Finalmente, también la sociedad se mueve cíclicamente como resultado del desarrollo de las fuerzas productivas -medios de producción puestos en acción por la capacidad de trabajo de los hombres- al generar a su contra-parte: las relaciones sociales de apropiación.

En la siguiente imagen se muestra la naturaleza cíclica del movimiento de la propiedad de la tierra como medio de producción en la agricultura.

Imagen 6. Dialéctica del movimiento de la propiedad de la tierra y su expresión matemática.

En la mayoría de países del mundo y más en Asia, África y América, las sociedades primitivas tuvieron como base la propiedad comunal de la tierra.

En México a la llegada de los españoles, las culturas existentes, principalmente la Azteca, Mixteca y Zapoteca, la tierra era de propiedad comunal y servía de fundamento a una producción y distribución de los bienes en forma comunitaria. Con la conquista militar y espiritual española (1521) y después de un período de transición, a fines del siglo XVI y principios del XVII, se produjo la conversión de las tierras comunales de los nativos indígenas en propiedad privada de los hacendados y de la Iglesia, situación que se acentuó durante la Reforma y el Porfirismo a tal grado que provocó una desigualdad extrema -una minoría muy rica y una mayoría muy pobre-. Esto generó la Revolución de 1910-1917 y una Constitución Política, que fundamentó el reparto de las haciendas durante el gobierno del Presidente Lázaro cárdenas (1934-1940) principalmente en forma de ejidos -propiedad social-. Así pues, se produjo la doble negación para retornar al punto de partida: la propiedad comunal fue negada por la propiedad privada de los hacendados y la propiedad privada fue negada por la propiedad social -ejido- para retornar al punto de partida: la propiedad comunal pero como ejido.

Con los ejemplos mostrados es suficiente para demostrar que en el universo todos los procesos son cíclicos y que para cerrar los ciclos es necesaria la doble negación, que matemáticamente se expresa como (-) (-) = (+) y cada negación es producto de la negación de un aspecto contradictorio del objeto de estudio: (+) (-) = (-) y el (+) del punto de partida que se reafirma (+) (+) = (+) para cubrir el ciclo. Es decir, en el carácter cíclico de los procesos materiales están expresadas las tres leyes generales de los signos de la matemática. Es evidente, pues, que la matemática tiene naturaleza dialéctica.

Dialéctica del pensamiento

La lógica en general y la lógica dialéctica en particular es el reflejo mental de la dialéctica de los procesos materiales, por consiguiente, el pensamiento también tiene que ser dialéctico.

La lógica por tratarse de una ciencia general es de naturaleza filosófica y, en este sentido constituye el fundamento teórico de todas las ciencias particulares, entre las que se encuentra la matemática.

La lógica dialéctica con sus leyes y categorías –conceptos generales- fue desarrollada y expuesta por Hegel su Ciencia de la lógica (1812-1816). Las leyes fundamentales de la dialéctica son tres: la transformación recíproca de la cantidad y la cualidad durante el movimiento de los objetos materiales; la ley de la contradicción y la ley de la negación de la negación.

La ley del tránsito recíproco de la cantidad y cualidad la expone Hegel en la primera parte de su Ciencia de lógica: en la doctrina del ser. Aquí Hegel analiza la dialéctica de la cantidad y la cualidad. La cualidad la define como lo idéntico al ser sensible –finito- que lo diferencia del resto de objetos finitos; en cambio la cantidad, la define como la supresión de la cualidad. Específicamente afirma que la cualidad se mueve cuantitativamente en un rango –medida- en el que se conserva, pero una vez que se rebasa la medida se produce un cambio brusco –salto- período relativamente breve en el que aparece una nueva cualidad que releva a la vieja cualidad. Esta nuevamente se mueve gradualmente hasta que supera la medida para dar origen a una nueva cualidad y así sucesivamente. Así pues, la ley del tránsito recíproco de la cantidad y la cualidad concibe al movimiento como la unidad contradictoria de la cantidad y la cualidad.

La ley de la contradicción Hegel la expone en la segunda parte de su Ciencia de la lógica: la doctrina de la esencia. Esta está oculta detrás de la sensibilidad aparente del objeto finito que en su movimiento supera la medida en la que se mueve su cualidad, para dar paso a lo que está oculto, es decir la esencia. Esta niega al objeto finito sensible y constituye su fundamento. Es en esta parte de su obra en la que Hegel expone y desarrolla la ley de la contradicción y la concibe el movimiento o dialéctica de los conceptos como producto de las contradicciones internas. Los conceptos abstractos -unilaterales- en su propio movimiento dialéctico se transforman en conceptos concretos más desarrollados. En este sentido la ley de la transformación recíproca de los conceptos de cantidad y cualidad es un caso particular de la ley de la contradicción, ya que la cualidad y la cantidad constituyen la unidad contradictoria de todo pensamiento.

La ley de la negación de la negación es expuesta por Hegel en la doctrina del concepto en su Ciencia de la lógica. El concepto lo concibe como la esencia hecha pensamiento y como tal constituye su negación. Así pues, la esencia niega la ser finito sensible y  el concepto niega la esencia para retornar a su punto de partida: el ser abstracto -concepto-.

La negación de la negación implica el retorno al punto de partida, por consiguiente, se trata del movimiento cíclico del pensamiento y como éste es el reflejo mental de los procesos materiales, en consecuencia, los procesos materiales también se mueven cíclicamente y en realidad son el fundamento del movimiento cíclico del pensamiento.

A pesar que Hegel expuso las leyes de la dialéctica como leyes del pensamiento -lógica-, el desarrollo histórico posterior de las ciencias naturales y sociales, han confirmado sus geniales conjeturas; es decir, que los propios procesos materiales del universo también son de naturaleza dialéctica y las leyes de la dialéctica son su expresión lógica.

La naturaleza cíclica del pensamiento dialéctico de Hegel se muestra en la siguiente imagen.

Imagen 7. Naturaleza cíclica del movimiento del pensamiento

El ser abstracto tiene que darse una existencia en un objeto finito sensible con su cualidad propia se mueve cuantitativamente, hasta un límite -medida- que al rebasarse se produce un salto -cambio cualitativo- en el que deja de ser sensible y se convierte en esencia -lo que está oculto-. La esencia se hace concepto y con ello se niega y, así retorna al punto de partida como ser abstracto -concepto-. Así pues, se ha producido un ciclo resultado de la doble negación, lo que confirma que el pensamiento también se mueve cíclicamente.

Las tres leyes fundamentales de la lógica dialéctica constituyen la teoría, pero como toda ciencia es teoría y es método, por ende, el procedimiento lógico general de apropiación racional de los objetos de estudio está representado lógicamente por categorías –conceptos generales- contradictorias que expresan el movimiento de la naturaleza contradictoria de la materia -finito vs infinito, cuyo conocimiento requiere del concurso de otras categorías contradictorias: singular vs general, apariencia vs esencia, movilidad (fenómeno) vs reposo (ley), casualidad vs necesidad y efecto vs causa.

La dialéctica del conocimiento científico se presenta en la siguiente imagen

Imagen 8. Naturaleza cíclica del movimiento del  conocimiento científico y su expresión matemática

El universo es todo lo que existe y todo lo que existe es materia que en su movimiento se convirtió en materia y viva y ésta en su más alto grado de desarrollo se transformó en especie humana, cuyos rasgos esenciales son el trabajo y el pensamiento. Por consiguiente, el universo es materia y pensamiento como se observa en la imagen anterior. La materia es la unidad contradictoria de lo finito vs lo infinito y es objeto de estudio del conocimiento humano. Para descubrir lo infinito que es el objetivo del conocimiento científico, el hombre recurre a conceptos generales contradictorios que permiten el movimiento del conocimiento desde el objeto finito a lo infinito insensible, por medio de la abstracción científica. Inicialmente el conocimiento científico descubre lo genérico dejando de lado -abstracción- de los rasgos singulares de los objetos individuales. Descubrir lo general en la multiplicidad de lo singular, no es suficiente para conocer lo infinito, por consiguiente, hay que descubrir la esencia oculta detrás de la apariencia de la apariencia de los fenómenos externos. Apropiarse racionalmente de la esencia es importante,  pero no agota el proceso del conocimiento es necesario que avance al descubrimiento de la la ley partiendo de su contra-parte: la movilidad. El movimiento es la propiedad fundamental de la materia, pero no tiene caso estudiar lo que hoy es una cosa y mañana otra. Por esto has que descubrir en la variabilidad la constancia, es decir, la ley o reposo que está oculta en la permanente movilidad de los fenómenos. La inmovilidad tampoco agota el movimiento del conocimiento científico, es fundamental encontrar lo necesario oculto detrás de las casualidades y finalmente descubrir las causas tanto de los fenómenos casuales como de los necesarios. En resumen el conocimiento científico se mueve de la sensibilidad -concreto sensible- para descubrir lo abstracto, a través de la abstracción de los aspectos singulares o casuales de los objetos sensibles. Lo abstracto niega a lo concreto sensible y da un salto para transformarse en pensamiento -verdad abstracta-. Esta niega a lo abstracto material insensible y en su movimiento se convierte en verdad concreta con lo que se cierra el ciclo al retornar a su punto de partida: lo concreto, pero no es lo concreto sensible como lo consideraba el idealismo de Hegel, sino lo concreto del pensamiento.

En síntesis el movimiento del conocimiento científico también se mueve cíclicamente.

Conclusiones

En el universo todos los procesos materiales son de naturaleza dialéctica, es decir, se mueven cíclicamente como resultado de las contradicciones.

La lógica al ser la expresión mental de la dialéctica de los procesos materiales, por consiguiente, también es de naturaleza dialéctica.

La Matemática tiene como objeto de estudio el aspecto cuantitativo de los objetos materiales y hace abstracción del aspecto cualitativo.

Las leyes generales de los signos son  la expresión matemática de la naturaleza cíclica de los procesos materiales, ciclo en el que están implícitas las tres leyes universales: ley de la contradicción que produce la doble negación de los dos contrarios inherentes a todo proceso material y su reflejo en el pensamiento; ley del tránsito recíproco de la cantidad vs la cualidad que no es más que un caso particular de la ley de la contradicción; y, la ley de la negación de la negación, que es la que sintetiza el carácter cíclico del movimiento de la materia y del pensamiento.

Como lo general -leyes de la dialéctica- está implícito parcialmente en lo particular -matemática- es obvio que las leyes universales de la dialéctica se expresan como leyes de los signos en la matemática.

Sin el conocimiento de las leyes universales de la dialéctica, el conocimiento de las ciencias particulares se mueve a "ciegas" en el complejo proceso del conocimiento científico.

El conocimiento científico también se mueve cíclicamente: de lo concreto sensible al pensamiento concreto -verdad concreta-, pasando por lo abstracto que niega a lo sensible y por la verdad abstracta que niega lo abstracto.

Bibliografía

Hegel. 1812-1816. Ciencia de la Lógica. Traducción de Mondolfo Rodolfo (1960).

Internet.

Vásquez Valentín. metodo2013.blogspot.mx